copyright © Educare.it – Anno XIII, N. 3 – Marzo 2013

Strutture matematiche e strutture operatorie dell’intelligenza

 La problematica che affronteremo in questa sezione risulta complessa e, nello stesso tempo, particolarmente affascinante; richiede, inoltre, la conoscenza di alcuni concetti matematici fondamentali, peraltro non difficili da acquisire anche da parte di non esperti.
Detta problematica concerne il rapporto tra le strutture operatorie dell’intelligenza e le strutture matematiche: essa implica due acquisizioni fondamentali che noi desideriamo esplicitare immediatamente.
Il primo dato è che esiste – secondo Piaget – una convergenza straordinaria tra le principali operazioni utilizzate spontaneamente dal bambino e le nozioni che si cerca di insegnargli in astratto; ossia, che le strutture operatorie dell’intelligenza corrispondono, sorprendentemente, alle strutture fondamentali dell’edificio matematico.
Il secondo dato, fondamentale per la prospettiva interdisciplinare aperta dalla epistemologia genetica (1), è che occorre basare la didattica della matematica sulla organizzazione progressiva delle strutture operatorie (2).
Piaget, dunque, individua quali strutture fondamentali della matematica quelle proposte dai “bourbakiani”: le strutture algebriche, il cui prototipo è il gruppo; le strutture d’ordine, in particolare il reticolo; le strutture topologiche(3).
L’esame delle origini dello sviluppo psicologico delle operazioni aritmetiche e geometriche che nascono spontaneamente nel fanciullo, e soprattutto delle operazioni logiche che ne costituiscono le condizioni necessarie e preliminari, porta a constatare che “ci troviamo ogni volta dapprima di fronte ad una tendenza fondamentale ad organizzare le totalità o i sistemi, al di fuori dei quali gli elementi non hanno significato né esistenza; e poi ad una ripartizione di questi sistemi d’insieme secondo tre tipi di proprietà che corrispondono precisamente a quelli delle strutture algebriche, d’ordine e topologiche” (4).

Cerchiamo, dunque, di seguire Piaget nell’analisi dei tre tipi di proprietà di cui sopra e nella rilevazione delle loro convergenze con quelle matematiche (5).
A – Nella dinamica dello sviluppo il soggetto, come sappiamo, giunge, per mezzo delle coordinazioni senso-motorie e dei regolamenti rappresentativi pre-operatori, alle operazioni.
Come abbiamo già chiarito (6), l’operazione, reversibile, è fin dall’inizio solidale con un sistema: non può esistere un’operazione isolata “poiché un’azione isolata è a senso unico, e dunque non è un’operazione” (7).
Questo significa – come già si sottolineava – che la struttura operatoria esiste sin dall’inizio in cui vi è l’operazione e la struttura d’insieme non è il risultato di composizioni tra le operazioni preesistenti, poiché l’azione che inizialmente si presenta come irreversibile diviene operatoria e reversibile soltanto all’interno delle strutture e grazie alle sua organizzazione.
La reversibilità – abbiamo visto – presenta due aspetti complementari e irriducibili: l’inversione e la reciprocità.
Piaget spiega che i meccanismi operatori dell’intelligenza basati sulla prima delle due forme di reversibilità, l’inversione o negazione, corrispondono alle strutture algebriche, in particolare a quelle di gruppo.
Com’è noto, le proprietà fondamentali del gruppo algebrico sono: chiusura rispetto alla legge di composizione interna definita nell’insieme; associatività delle composizioni successive; esistenza dell’elemento neutro rispetto alla legge di composizione interna; esistenza, per ciascun elemento dell’insieme, del corrispettivo simmetrico appartenente all’insieme stesso.
Basta confrontare le proprietà fondamentali del gruppo con le leggi di equilibrio degli aggruppamenti operatori per rendersi conto che – come scrive Piaget – “da un punto di vista generale il gruppo è la traduzione simbolica di alcuni caratteri fondamentali dall’atto intellettivo: la possibilità di coordinare le azioni, la possibilità di fare e disfare” (8).
Ma quanto s’è detto non basta: “poiché le trasformazioni proprie di un gruppo sono sempre solidali con alcuni invarianti, la costruzione di un gruppo procede di pari passo con quella dei relativi invarianti. E lo stesso accade per ciò che riguarda le forme spontanee di organizzazione che si dà l’intelligenza durante il suo sviluppo: all’irreversibilità iniziale delle azioni corrisponde una mancanza di conservazione, e alla costruzione di strutture reversibili corrisponde l’elaborazione di nozioni di conservazioni entro l’ambito così strutturato” (9).
Nel rinviare al prossimo contributo la descrizione della elaborazione dei concetti di numero intero, di misura geometrica, ecc., bisogna ora sottolineare un punto importante: la costruzione del numero intero, ad esempio, presuppone una elaborazione logica preliminare, come la logica delle classi; a sua volta, le prime operazioni di questa logica suppongono alcune strutture di tipo algebrico (gli aggruppamenti) non ancora identiche al gruppo, ma che tuttavia presentano alcuni dei caratteri del gruppo stesso.
Prendiamo come esempio l’operazione di inclusione di una classe parziale A in una totale B (si pensi alle classificazioni zoologiche): per stabilire la relazione A<B, il soggetto deve passare attraverso l’operazione reversibile A+A’=B (A’ essendo il sottoinsieme complementare ad A rispetto all’insieme universo B) da cui A=B-A’ e A’=B-A.
Soltanto una volta che il ragazzo ha acquisito la reversibilità dell’addizione e della sottrazione logica delle classi, l’intero si conserva indipendentemente dalle suddivisioni che si possono introdurre. In altre parole, “l’includere la parte nel tutto suppone una struttura algebrica preliminare” (10).

B – Come già abbiamo chiarito trattando gli stadi dello sviluppo, se alla reversibilità per inversione corrispondono i raggruppamenti di classi, alla reversibilità per reciprocità corrispondono le strutture di relazioni: mentre l’inversione costituisce l’annullamento dell’operazione effettuata, la reciprocità costituisce la compensazione di una data operazione con un’altra eguale e contraria senza negare le operazioni in gioco.
Piaget mostra la corrispondenza tra gli aggruppamenti operatori fondati sulla forma di reversibilità per reciprocità e le strutture d’ordine (o di relazione), come ad esempio il “reticolo” (11).
Per quanto ci interessa, diciamo che il reticolo si può definire in termini di relazioni: la transitività x precede y, y precede z, quindi x precede z consiste nel coordinare due relazioni in una sola, ciò che significa un’operazione additiva su delle relazioni. Il reticolo comporta una legge di dualità che consiste nel permutare, ad esempio, la relazione “precede” e “segue”: il che significa, esemplificando, che la relazione “x precede y” (*) può essere permutata in “y segue x” (**). La (**) non è per niente la negazione di (*), bensì è una semplice conversione della relazione.
Da un punto di vista generale, la legge di dualità propria del reticolo “non porta ad un’inversione o negazione, come avviene nelle strutture algebriche, ma ad una trasformazione fondata sulla reciprocità, cioè sulla permutazione dell’ordine: mentre l’inversione si riduce a negare l’operazione in se stessa, indipendentemente dalle relazioni d’ordine, la reciprocità trasforma l’ordine senza negare le operazioni in gioco.
Le strutture d’ordine hanno dunque, per il meccanismo dell’intelligenza, la stessa fondamentale importanza delle strutture di gruppo (od altre strutture similari)…” (12) .

(C) E giungiamo al problema dell’ordine di costruzione delle nozioni e delle operazioni geometriche nello sviluppo spontaneo del bambino e del rapporto di tale ordine di costruzione con le strutture topologiche, considerate dai “bourbakiani” fondamentali in geometria.
Occorre innanzitutto precisare in che modo le relazioni spaziali vengono classificate in matematica.
Diciamo, quindi, che vi sono tante geometrie: la geometria euclidea o metrica o dei movimenti rigidi, che è quella che abitualmente conosce la maggioranza delle persone; la geometria proiettiva; la topologia.
Ciascun gruppo di queste geometrie è caratterizzato da un invariante.
Così, nell’ambito della geometria euclidea una figura si può ottenere da un’altra mediante un movimento rigido nello spazio, nel quale si ha solo un cambiamento di posizione, ma non cambiamenti di misura. La geometria euclidea – la geometria che implica misura, o geometria metrica – ha come oggetto lo studio di proprietà di figure che rimangono costanti, od invarianti, quando siano soggette ad una particolare classe di trasformazioni: i movimenti rigidi.
Ma esistono altre classi di trasformazioni che non implicano semplicemente i cambiamenti di posizione di una figura.
Se lunghezza, angoli, area, volume, ecc. variano in seguito a delle trasformazioni geometriche, ma ad un punto corrisponde sempre un punto, ad una retta una retta, e restano invariati i rapporti fra le distanze di punti A, B, C di una retta a con i punti X, Y, Z ad essi corrispondenti su un’altra retta x (proiezione della retta a), siamo nel gruppo delle trasformazioni proiettive.
Se poi sottoponiamo una figura a delle trasformazioni più drastiche, per cui lunghezza, angoli, area, volume, retta, rapporti, ecc. non sono mantenuti, ma si conservano soltanto due (e solo due) caratteristiche e cioè: 1) ad ogni punto p della figura A corrisponde un punto p1 della figura A1, e viceversa; 2) se p e q sono due punti qualsiasi della figura A, e p si sposta in modo che la distanza tra esso e q tende a zero, la distanza tra i corrispondenti punti p1 e q1 della figura A1 tende a zero e viceversa; se si conservano queste due caratteristiche – dicevamo – siamo nel gruppo delle trasformazioni topologiche.
I movimenti rigidi e le trasformazioni proiettive sono proprio casi speciali di trasformazioni topologiche: il gruppo dei movimenti rigidi (traslazioni, ecc.) è precisamente incluso nel gruppo delle trasformazioni proiettive, ed entrambi i gruppi sono inclusi in quello delle trasformazioni topologiche.
Storicamente, la geometria euclidea o metrica ha proceduto di molti secoli la geometria proiettiva, e la topologia si è costituita in geometria autonoma in epoca molto più recente (13).
Risulta sorprendente che il bambino, quando inizia a disegnare, non distingua i quadrati, i cerchi, ecc. ma differenzi benissimo le figure aperte o chiuse, le posizioni esterne o interne a una frontiera (compresa la posizione sulla frontiera), le separazioni e gli accostamenti (senza conservazione delle distanze), ecc.
Cioè: partendo da intuizioni topologiche fondamentali il bambino si orienta poi simultaneamente nella direzione delle strutture proiettive e delle strutture metriche.
“È piuttosto interessante osservare – scrive Piaget – che l’ordine di costruzione delle nozioni e delle operazioni geometriche nello sviluppo spontaneo del bambino non è per niente conforme all’ordine storico delle tappe della geometria e si avvicina piuttosto all’ordine di relazione dei gruppi fondamentali sui quali si fondano e diversi tipi di spazi” (14).

La conclusione che si può trarre da quanto si è detto è che, come nel caso delle strutture algebriche e delle strutture d’ordine, le strutture topologiche sono profondamente radicate nel funzionamento psicologico delle operazioni intellettuali.
Piaget precisa anche che, dal punto di vista operatorio, accanto alle operazioni di classi e relazioni, occorre sottolineare il ruolo delle operazioni infralogiche che, come abbiamo detto, costruiscono l’oggetto, ossia le operazioni costitutive dello spazio: “mentre l’operazione logica parte dall’oggetto individuale e giunge per estensione alle classi che sussistono indipendentemente dalla configurazione spaziale degli elementi che le compongono, l’operazione infralogica scompone l’oggetto in un sol colpo e lo ricompone a partire dai suoi elementi: questo sistema di comporre differisce dunque dal precedente per l’intervento del continuo e delle configurazioni.
Distinte per la loro struttura dalle operazioni logiche, le operazioni infralogiche tuttavia non le precedono nel tempo: nella fase pre-operatoria non vi è differenziazione fra le prime intuizioni infralogiche e quelle logiche, mentre a livello delle operazioni concrete i due tipi di strutture si stabiliscono parallelamente” (15).
(D) Come abbiamo già rilevato trattando il periodo operatorio-concreto, una delle due sostanziali restrizioni dei sistemi operativi a questo livello sta nella loro frammentarietà; infatti, le operazioni di classificazione, ecc. non si combinano in un’unica struttura d’insieme, il che significa che le operazioni non hanno ancora raggiunto un equilibrio completo.
Si è anche chiarito il carattere di tale frammentarietà sul piano logico: le due forme di reversibilità, l’inversione (o negazione) e la reciprocità (o compensazione) non sono unite, sempre a livello operatorio-concreto, in una struttura d’insieme e ciò impedisce al pensiero di aprirsi alla “combinatoria” delle operazioni formali.
Invece, al livello della combinatoria proposizionale per qualsiasi operazione esistono:
1) una negazione N, inversa della operazione in questione, che in relazione all’insieme è la complementare all’insieme delle associazioni di base;
2) la reciproca R della operazione presa in considerazione, che è l’operazione stessa, ma entro proposizioni negate;
3) la correlativa C, che è l’inversa della operazione reciproca.
Tenendo presente che la trasformazione identica I lascia l’operazione invariata, ci troviamo di fronte ad un gruppo commutativo (isomorfo al gruppo del “rettangolo” di Klein):
NR=C; CR=N; CN=R; NRC=I.
Il gruppo commutativo INRC costituisce una struttura algebrica; esso, tuttavia, incorpora la reciprocità, che costituisce la forma di reversibilità delle strutture di ordine.

Qui corre l’obbligo di porre in evidenza che la nostra descrizione della problematica in questione risulta piuttosto schematica e priva di esemplificazioni: agli appassionati non possiamo che rivolgere l’invito ad approfondire la questione direttamente sui testi di Piaget già citati.
Dal punto di vista psicologico, questo gruppo rappresenta la sintesi e la forma di equilibrio finale delle due serie di strutture operatorie finora distinte. Di esso naturalmente il soggetto non ha alcuna coscienza in quanto struttura, ma è esattamente la composizione delle due forme di reversibilità che spiega i progressi che il soggetto compie sul piano della comprensione del reale: dalla lettura di un gran numero di dati dell’esperienza, al progresso compiuto nel campo della causalità, alla comprensione della proporzionalità, ecc.
Prendiamo ad esempio l’equilibrio meccanico, che implica l’eguaglianza tra azione e reazione. Scrive Piaget: “in un sistema in cui un pistone eserciti una pressione su un liquido contenuto in due vasi comunicanti, il soggetto può solo capire l’alterazione nel livello del liquido distinguendo quattro processi, che si possono molto facilmente descrivere in termini di operazioni:

(a) la operazione diretta, cioè l’aumento di pressione nel sistema risultante dall’aggiunta di pesi al pistone;
(b) l’operazione inversa, cioè una diminuzione della pressione risultante dalla rimozione dei pesi;
(c) l’operazione reciproca, cioè l’aumentata resistenza del liquido causata, per esempio, dall’aumento della densità;
(d) l’inverso della reciproca, cioè un decremento nella resistenza del liquido.

Mentre i soggetti di 14-15 anni possono facilmente distinguere queste quattro operazioni e coordinarle correttamente, i bambini non capiscono che la pressione del liquido, rilevata dal suo livello nel vaso agisce in opposizione alla pressione del pistone” (16).

 

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(1)   Cfr. Conese, A., Jean piaget e il problema della fondazione logica dei numeri naturali  e delle conoscenze matematiche in generale (1), in www.antonioconese.wordpress.com, Categoria “Didattica della matematica”.

(2)   Tralasciamo di delineare le posizioni di Piaget circa i rapporti tra logica e psicologia. Riportiamo, comunque, un passo esplicativo sull’argomento: “la logica formale costituisce semplicemente l’assiomatica degli stati di equilibrio del pensiero, e la scienza reale che corrisponde a questa assiomatica non è altro che la stessa psicologia del pensiero” ( PIAGET, J., Psicologia  dell’intelligenza, Firenze, “Universitaria” ed., 1962, pag. 12; cfr., al proposito, PIAGET, J., Logica e psicologia, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1969).

(3)   Cfr. PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C.,  L’insegnamento della matematica, Firenze, “La Nuova Italia” ed., 1969, pagg. 1-33.

(4)   Ibidem, pag. 7.

(5)   Cfr. anche PIAGET, J., L’epistemologia genetica, Bari, Laterza ed., 1973, pagg. 33-57; PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit.; inoltre, dello stesso PIAGET, J., “Le structuralisme”, Paris, “Presses Universitaires de France”, 1968, pagg. 17-32.

(6)    Cfr. Conese, A., Jean Piaget e il problema della fondazione logica dei numeri naturali e delle conoscenze matematiche in generale (2), Gli invarianti funzionali dell’intelligenza e gli stadi dello sviluppo,in www.antonioconese.wordpress.com, Categoria “Didattica della matematica”.

(7)    PIAGET, J., L’epistemologia genetica, op. cit., pag. 10.

(8)    Cfr. PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L’insegnamento della matematica, op. cit., pag.12.

(9)    Ibidem, pag. 13.

(10)  Ibidem, pag. 15.

(11)  Un insieme è un reticolo se per ogni sua coppia di termini esiste un termine che ne rappresenta l’unione ed un termine che ne rappresenta l’intersezione. Cfr. la Nota esplicativa sulla logica di Piaget di VISALBERTI, A., in PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit., pagg. 77-79.

(12)   PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L’insegnamento della matematica, op. cit., pag.18.

(13)   Cfr. DUSE, V., Per un insegnamento moderno della matematica elementare, Brescia, “La Scuola” ed., 1970, pagg. 221-228.  Cfr., anche, BOURBAKI, N., Elementi di storia della  matematica, Milano, Feltrinelli ed, 1963.

(14)   PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C.,  L’insegnamento della matematica, op. cit., pag.23.

(15)   Ibidem, pagg. 23-24;

(16)   PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit., pagg. 25-26.

 

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Autore

Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull’insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su “La dimensione europea della scuola e dell’insegnamento”.

Docente  di   Scuola   Primaria  (1970-1979)  e  Dirigente  Scolastico  (1979-2007),  ha  collaborato con la Rivista “i diritti della scuola” ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l’insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall’IRRSAE di Puglia in occasione dell’attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l’attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

Ora collabora con “Educare.it”, Rivista telematica sui grandi temi dell’educazione.