ex 60 pag 455

Dimostra che

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^- }{\frac{1}{(\sin(x-\frac{\pi}{4} ) } = - \infty$

bisogna dimostrare che $\frac{1}{\sin(x-\frac{\pi}{4}) } < - M$ in un intorno sinistro di $\frac{\pi}{4}$ .

Per prima cosa mi semplifico la vita osservando che

$x-\frac{\pi}{4} \rightarrow o^{-}$ per $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$

posso fare la sostituzione $t =x-\frac{\pi}{4}$ e dimostrare che vale il limite $\lim_{t \rightarrow 0^- }{\frac{1}{\sin(t) } = - \infty$ in un intorno sinistro di t=0.

Basta verificare quindi che:

$\frac{1}{\sin(t) } < - M$ in un intorno sinistro di t=0.

cioè

$\sin(t) > -\frac{1}{M} \;\;\; \Rightarrow 0>\sin(t)> -\frac{1}{M} \\<br />$

passo quindi a valutare l'argomento usando la funzione inversa del seno.

Quindi otteniamo

$\sin^{-1} (0) > t > \sin^{-1} ( -\frac{1}{M} )<br /><br />$

cioè

$0 > t > \sin^{-1} ( -\frac{1}{M} ) \\$
sapendo che $t =x-\frac{\pi}{4}$ e risolvendo per x otteniamo $0 > x-\frac{\pi}{4} > \sin^{-1} ( -\frac{1}{M} ) \\$

sommando a dx e sx per $\frac{\pi}{4}$ otteniamo che

$\frac{\pi}{4} > x > \frac{\pi}{4} + \sin^{-1} ( -\frac{1}{M} )$

che è un intorno sinistro di $\frac{\pi}{4}$ , ovvero ${\huge(} \frac{\pi}{4} + \sin^{-1} ( -\frac{1}{M} ) \;;\; \frac{\pi}{4} \huge{)}$ ..

Oss..

ricordate che -1/M è negativo e quindi.. sin(-1/M) per M grandi a piacere sarà vicino allo 0 ma zero meno. quindi il seno sarà negativo. Attenzione!!

Fisica e Matematica V Liceo Scientifico C - I.I. Guetti Tione

martedì 8 febbraio 2011

esercizi

lunedì 10 gennaio 2011

ex 60 pag 455

ex 60 pag 455

Informazioni personali

Visualizzazioni totali

Archivio blog